LastUpdate 2015/11/23



 私と数学関数グラフ作成ソフト『GRAPES』との出会いは、京都府立総合教育センターで開催された高校教員を対象とした「平成5年度情報教育指導者講座(文部省主催)」へ参加したときのことでした。岐阜県からは私を含め3名が参加しました。
 このとき、『GRAPES』の開発者である友田勝久氏は大阪府からの代表として参加されていました。参加者は各自で開発した学習ソフトを持ち寄り発表することになっていました。私を含め多くの方はフロッピーディスクに発表用のソフトを入れて持参しましたが、大きなハードディスクに入れて来られた方がみえ強烈な印象を受けました。それが友田勝久氏で、MS-DOS版の『GRAPES』を発表されました。
 当時は、今あるようなポータブルハードディスクではなく、友田氏が持参されたハードディスクはパソコンに附属しているものという感じがしました。平成5年は西暦1993年です。Windows95の登場が1995年で、それ以降インターネットが広まりました。平成5年(1993年)のこの研修では、電話回線を利用したパソコン通信についての研修がありましたが、未だインターネットの「イ」の字も講義に出ない時代でした。
 今、私が自分のパソコンにインストールしているのは『GRAPES 6.46』です。初めて出会ったときのMS-DOS版の『GRAPES』から格段の進化を遂げたものになっています。友田勝久氏に敬意を表します。
 なお、『GRAPES』はフリーソフトです。




http://kn-makkun.com/MakkunWp/grapes.html
No 目 次
 2次関数・1次関数
 三角関数・指数関数・対数関数
 図形と方程式
 微分・積分
 いろいろな曲線
 試験問題の解法に利用する
 ダウンロード
 サンプルデータの使い方

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「『GRAPES』を試験問題の解法に利用するサンプルデータ」



 目次へ 
 
 のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=ax^2.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
 [初期化1(a=0.01)]をクリックしてから、[a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化2(a=-0.01)]をクリックしてから、[a<0 のとき]をクリックしてみよう。
 
 のグラフの形状や位置がa、bの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=a(x−b)^2.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
 パラメータbの値を動かして、グラフの位置がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
 [初期化(b=0)]をクリックしてから、[b>0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(b=0)]をクリックしてから、[b<0 のとき]をクリックしてみよう。
 
  のグラフの形状や位置がa、cの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=ax^2+c.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
 パラメータcの値を動かして、グラフの位置がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(c=0)]をクリックしてから、[c>0 のとき]をクリックしてみよう。
  次に、[初期化(c=0)]をクリックしてから、[c<0 のとき]をクリックしてみよう。
 
 のグラフの形状や位置がa、b、cの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=a(x−b)^2+c.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
 パラメータbの値を動かして、グラフの位置がどう変わるかを見る。
 パラメータcの値を動かして、グラフの位置がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(b=0,c=0)]をクリックしてから、[2次関数のグラフの平行移動]をクリックしてみよう。
 
 のグラフの形状や位置がa、b、cの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=ax^2+bx+c.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
 パラメータbの値を動かして、直線 y=bx+c との関係を見る。
 パラメータcの値を動かして、グラフの位置がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2,b=5.5,c=-1)]をクリックしてから、[係数bについて]をクリックしてみよう。係数bがグラフ上の点(0,−1)における接線の傾きであることを見てみよう。
 
 の区間t≦x≦t+1での最小値がtの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「区間最小値.gps」
 パラメータtの値を動かして、最小値がどう変わるかを見る。
 
 の区間t≦x≦t+1での最大値がtの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「区間最大値.gps」
 パラメータtの値を動かして、最大値がどう変わるかを見る。
 108.【 1点を通る直線 】
 aの値に関係なく、直線 y=a(x−b)+cは、常に1点(b,c)を通ることを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【100】2次関数・1次関数」→ファイル名「y=a(x−b)+c.gps」
 パラメータaの値を動かして、直線 y=a(x−b)+cが常に1点(b,c)を通ることを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
  次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。



 目次へ 
 201.【 三角関数 y=asinx のグラフ 】
 y=asinx のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=asinx.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
  次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 202.【 三角関数 y=acosx のグラフ 】
 y=acosx のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=acosx.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
  次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 203.【 三角関数 y=atanx のグラフ 】
 y=atanx のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=atanx.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 204.【 三角関数 y=sinax のグラフ 】
 y=sinax のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=sinax.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 205.【 三角関数 y=cosax のグラフ 】
 y=cosax のグラフの形状がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=cosax.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 206.【 三角関数 y=tanax のグラフ 】
 y=tanax のグラフの形状や位置がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=tanax.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状や位置がどう変わるかを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 207.【 三角関数 y=sin(x−a)と y=cos(x−b)のグラフ 】
 y=sin(x−a)のグラフ と y=cos(x−b)のグラフの形状や位置関係を調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=sin(x−a)_cos(x−b).gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの形状や位置関係を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(b=0)]をクリックしてから、[平行移動]をクリックしてみよう。y=sinx のグラフは、y=cosx のグラフをx軸方向に+90°だけ、平行移動したものであることを見てみよう。
 208.【 指数関数 のグラフ 】
  のグラフの3つの特徴(@aの値に関係なく点(0,1)を通る。Aa>1のとき右上がりで、0<a<1のとき右下がり。Baの値に関係なく漸近線はx軸。)をaの値を変化させて調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=a^x.gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの3つの特徴を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1.1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1.1)]をクリックしてから、[1>a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 209.【 対数関数 のグラフ 】
 のグラフの3つの特徴(@aの値に関係なく点(1,0)を通る。Aa>1のとき右上がりで、0<a<1のとき右下がり。Baの値に関係なく漸近線はy軸。)をaの値を変化させて調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【200】三角関数・指数関数・対数関数」→ファイル名「y=log(a,x).gps」
 パラメータaの値を動かして、グラフの3つの特徴を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1.1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=1.1)]をクリックしてから、[1>a>0 のとき]をクリックしてみよう。



 目次へ 
 301.【 デカルトが図形と方程式を結びつける(解析幾何) 】
 方程式がどんな図形を表すかを考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「方程式の表す図形1.gps」
 パラメータaの値を動かして、図形の変化を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(a=2)]をクリックしてから、[2>a≧0 のとき]をクリックしてみよう。
 302.【 デカルトが図形と方程式を結びつける(解析幾何) 】
 方程式 sinx+siny=sinax+sinay がどんな図形を表すかを考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「方程式の表す図形2.gps」
 パラメータaの値を動かして、図形の変化を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 303.【 デカルトが図形と方程式を結びつける(解析幾何) 】
 方程式 sinax+sin(a+1)y=sin(a+2)x+sin(a+3)y がどんな図形を表すかを考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「方程式の表す図形3.gps」
 パラメータaの値を動かして、図形の変化を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=0)]をクリックしてから、[a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 304.【 直線上の外分点 】
 
mとnが異符号になる場合を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「外分点.gps」
 パラメータm、nの値を動かして、mとnが異符号になる場合の2点A、Bに対する点Pの位置を見る。
 305.【 三角形の3本の中線はただ1点で交わる(重心) 】
 どんな三角形でも3本の中線はいつも1点で交わるかを考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「重心.gps」
 三角形の頂点A、B、Cを動かして、どんな三角形でも3本の中線はいつも1点で交わることを見る。
 306.【 2直線の垂直条件 】
 2つの直線が垂直に交わるときの条件を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「2直線の垂直条件.gps」
 2直線の傾きであるパラメータm、nの値を動かして、mとnがどんな場合に2直線が垂直に交わっているかを見る。
 307.【 中心が原点である円の接線 】
 中心が原点の円の接線の方程式を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「円の接線1.gps」
 接点Pを動かして、円 の接点P(p,q)における接線は、であることを見る。
 308.【 中心が原点以外の点である円の接線 】
 中心が原点以外の点である円の接線の方程式を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「円の接線2.gps」
 中心A、接点Pを動かして、円 の接点P(p,q)における接線は、
 (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=であることを見る。
 309.【 3点を通る円の方程式 】
 3つの点を通る円の方程式を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「3点を通る円.gps」
 3点O(0,0)、A(6,0)、B(−1,7)を通る円の方程式を連立方程式を解いて求め、求めた円を『GRAPES』で描かせ、3点O(0,0)、A(6,0)、B(−1,7)を通っていることを見る。
 310.【 アポロニウスの円 】
 アポロニウスの円を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「アポロニウスの円.gps」
 2点A、Bとバラメータkの値を動かして、2点A、Bからの距離の比がk:1である点の軌跡は、
 k=1のとき、2点A、Bの垂直二等分線になることを見る。
 k≠1のとき、バラメータkの値を動かして円になることを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(k=2)]をクリックしてから、[k>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、 [初期化(k=2)]をクリックしてから、[0<k<2 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[k=1 のとき]もクリックしてみよう。
 311.【 2つの円の交点を通る円の方程式 】
 2つの円の交点を通る円の方程式を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「2つの円の交点を通る円.gps」
 2つの円 の交点を通る円の方程式は、
  で表わされ、
 k≠−1のとき円になり、k=−1のとき直線になることを見る。
 バラメータkの値を動かして円の動きを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(k=-10)]をクリックしてから、[−10≦k≦−1 のとき]、[−1≦k≦0 のとき]、[0≦k≦1 のとき]、[1≦k≦10 のとき]と、順番にクリックしてみよう。
 312.【 楕円の方程式 】
 楕円の方程式を軌跡から考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「楕円.gps」
 2点、A(−c,0)、B(c,0)からの距離の和が一定(2a)である点の軌跡が楕円であることを見る。
 バラメータa、cの値を動かして楕円の動きを観察する。
 313.【 楕円の接線 】
 楕円の接線を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「楕円と接線.gps」
 
 
 314.【 双曲線の方程式 】
 双曲線の方程式を軌跡から考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「双曲線.gps」
 2点、A(−c,0)、B(c,0)からの距離の差が一定(2a)である点の軌跡が双曲線であることを見る。
 バラメータa、cの値を動かして双曲線の動きを観察する。
 315.【 双曲線の接線 】
 双曲線の接線を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「双曲線と接線.gps」
 
 
 316.【 放物線の方程式 】
 放物線の方程式を軌跡から考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「放物線.gps」
 準線x=−p、点A(p,0)からの距離が等しい点の軌跡が放物線であることを見る。
 バラメータpの値を動かして放物線の動きを観察する。
 317.【 円錐曲線 】
 円錐の切り口に現れる曲線を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「円錐曲線.gps」
<スクリプトについて>
 [@楕円の例]、[A放物線の例]、[B双曲線の例]、[C円の例]をそれぞれクリックしてから、[回転する]をクリックし、円錐の切り口が、その切り方によって、楕円、放物線、双曲線、円になることを見る。
 318.【 楕円の焦点の作図 】
 楕円の焦点の作図を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「楕円の焦点の作図.gps」
<スクリプトについて>
 [スタート]をクリックして、長軸の長さの半分を用いた焦点の位置を探す作図法を見る。
 319.【 楕円の接線の性質 】
 楕円の接線の性質を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「楕円の接線の性質.gps」
 楕円の2つの焦点と楕円の接点とを結ぶ2つの線分と接線とのなす2つ角の角度は常に等しいことを見る。
 パラメータtの値を動かして、その2つの角を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0°)]をクリックしてから、[0°<t<360° のとき]をクリックしてみよう。
 320.【 円から楕円を作る 】
 円から楕円を作る方法を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「円から楕円を作る.gps」
 円から楕円を作図する方法を見る。パラメータθの値を動かして、楕円ができる様子を観察する。
 中心が点Bの円の内部に任意の点Aと、円周上に任意の点Pをとる。線分APの垂直2等分線KLを引く。KLとPBの交点をQとするとき、点Aを固定して、点Pを動かしたとき、点Qの軌跡は、焦点がB、Aの楕円になる。なぜならば、AQ=PQより、AQ+QB=一定(円の半径)になるからである。
 321.【 双曲線の曲がり具合 】
 双曲線の曲がり具合を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「双曲線の曲線度.gps」
 カーソルを原点に置いて右クリック→ZOOM→×1/2 を繰り返し、[ドラックで移動]を使って、双曲線の原点から離れた部分がほとんど直線であることを見る。 
 322.【 2次曲線の離心率 】
 2次曲線の離心率を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「2次曲線の離心率.gps」
 準線 x=−c と 焦点A(c,0)との距離の比が 1:k である点の軌跡は、次になることをパラメータkの値を動かして観察する。
  @ 0<k<1のとき、楕円になる。
  A k=1のとき、放物線になる。
  B 1<kのとき、双曲線になる。
<スクリプトについて>
  [初期化(c=1,k=1)]をクリックしてから、[楕円(0<k<1)]をクリックしてみよう。
 次に、[放物線(k=1)]をクリックしてみよう。
 更に、[初期化(c=1,k=1)]をクリックしてから、[双曲線(1<k)]をクリックしてみよう。 
 323.【 不等式の表す領域1(直線と円) 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「(x-y-2)(x^2+y^2-4)_0.gps」
 
 
 
 324.【 不等式の表す領域2 (直線と放物線)】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「(x+y-2)(y-x^2)_0.gps」
 直線 y=−x+2 と 放物線 が領域の境界線になっていて、
 不等式 y>−x+2 と が同時に満たす領域 及び 不等式 y<−x+2 と が同時に満たす領域 になっていることを見る。
 325.【 不等式の表す領域3 (絶対値の付いた不等式)】
 不等式 |x|+|y|≦1 の表す領域を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「abs(x)+abs(y)_1.gps」
 直線 y=x+1 と y=x−1 と y=−x+1 と y=−x−1 が領域の境界線になっていて、
 不等式 y≦x+1 と y≧x−1 と y≦−x+1 と y≧−x−1 が同時に満たす領域 になっていることを見る。
 また、パラメータ a の値を動かして、領域の変化を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[1>a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 326.【 不等式の表す領域4 (絶対値の付いた不等式) 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「x^2+y^2_2abs(x+y).gps」
 直線 y=−x が領域の境界線になっていて、
 
及び 同時に満たす領域になっていることを見る。
 また、パラメータ a の値を動かして、領域の変化を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=2)]をクリックしてから、[2>a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 327.【 不等式の表す領域5 (絶対値の付いた不等式) 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「x^2+y^2_2abs(x)+2abs(y).gps」
 
直線x=0 と y=0 が領域の境界線になっていて、
  x≧0 と y≧0 が同時に満たす領域 及び
 x≧0 と y<0 が同時に満たす領域 及び
  と x<0 と y≧0 が同時に満たす領域 及び
 x<0 と y<0 が同時に満たす領域になっていることを見る。
 また、パラメータ a の値を動かして、領域の変化を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=2)]をクリックしてから、[2>a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 328.【 領域における最大・最小 】
 5x−3y≧0、x−2y≦0、3x+y−14≦0 であるとき、x+y の最大値、最小値を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「領域における最大最小.gps」
 不等式 5x−3y≧0、x−2y≦0、3x+y−14≦0 の表す領域において、点P(x,y) を動かして、x+y の値k の変化を見る。
 また、パラメータ kの値 を動かして、x+y=k(直線 y=−x+k と考えたときの、kはy切片)を観察する。
<スクリプトについて>
  [最小値(k=0)]をクリックしてみよう。
 次に、[最大値(k=8)]をクリックしてみよう。
 更に、[0≦k≦8 のとき]をクリックしてみよう。
 329.【 2次関数のグラフの通過領域 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「y=x^2+2ax+2a^2.gps」
 
 
 
 パラメータ a の値を動かして、2次関数 のグラフが通過する領域を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=0)]をクリックしてから、[a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[a<0 のとき]をクリックしてみよう。
 330.【 2直線の交点の軌跡 】
 2直線 tx+y=2 、x−ty=0 の交点の軌跡を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【300】図形と方程式」→ファイル名「2直線の交点の軌跡.gps」
 パラメータ t の値を動かして、2直線 tx+y=2 、x−ty=0 の交点tの軌跡が中心(0,1)、半径1の円であることを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=1)]をクリックしてから、[1<t<10 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[1>t>−10 のとき]をクリックしてみよう。



 目次へ 
 401.【 2次関数 のグラフの接線の傾き 】
  のx=1における接線の傾きを探す。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=x^2の接線の傾きを探せ.gps」
 カーソルを(1,1)に置いて、右クリック→zoom→×10 で拡大する。
 パラメータmの値を動かして、接線の傾きmを探す。
 402.【 2次関数の導関数のグラフ 】
 2次関数のグラフとその導関数のグラフの関係を調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「2次関数の導関数のグラフ.gps」
 パラメータa、b、cの値を動かして、2次関数のグラフの増加・減少と導関数のyの値の正負の関係を見る。
 403.【 3次関数の導関数のグラフ 】
 3次関数のグラフとその導関数のグラフの関係を調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「3次関数の導関数のグラフ.gps」
 3次関数のグラフの増加・減少と導関数のyの値の正負の関係を見る。
 404.【 3次関数の極値の個数 】
 3次関数の極値の個数を調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「3次関数の極値の個数.gps」
 パラメータaの値を動かして、3次関数の極値の個数は2個または0個である様子を見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=-2)]をクリックしてから、[a<−2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=-2)]をクリックしてから、[−2<a≦0 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[0<a のとき]をクリックしてみよう。
 405.【 2次関数 のグラフの接線 】
 のx=aにおける接線がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=x^2−2xの接線.gps」
 パラメータaの値を動かして、接線の動きを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=2)]をクリックしてから、[a<2 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[a=1 のとき]をクリックしてみよう。
 406.【 2次関数 のグラフの接線 】
 のx=aにおける接線がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=−x^2+4x+2の接線.gps」
 パラメータaの値を動かして、接線の動きを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[a=2 のとき]をクリックしてみよう。
 407.【 3次関数 のグラフの接線 】
 のx=aにおける接線がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=x^3−3x^2の接線.gps」
 パラメータaの値を動かして、接線の動きを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=1)]をクリックしてから、[a>1 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=1)]をクリックしてから、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[a=0 のとき]、[a=2 のとき]をクリックしてみよう。
 408.【 3次関数 のグラフの接線 】
  のx=aにおける接線がaの値によってどう変わるかを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=−x^3+3x+1の接線.gps」
 パラメータaの値を動かして、接線の動きを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=0)]をクリックしてから、[a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=0)]をクリックしてから、[a<0 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[a=−1 のとき]、[a=1 のとき]をクリックしてみよう。
 409.【 グラフ上の2点を通る直線と接線 】
 
aが1に近づくとき、つまり点Qが点Pに限りなく近づくとき、

 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「2点を通る直線と接線.gps」
 パラメータaの値を動かして、aが1に近づくときの直線mの動きを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=5)]をクリックしてから、[5≧a≧1 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[a<1 のとき]をクリックしてみよう。
 410.【 陰関数のグラフ1 】
 陰関数のグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「x^2+y^2+x+y=x^2y^2.gps」
 陰関数 のグラフを観察する。
 411.【 陰関数のグラフ2 】
 陰関数のグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「sinxy=x+y.gps」
 陰関数 sinxy=x+y のグラフを観察する。
 412.【 陰関数のグラフ3 】
 陰関数のグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「x^3+y^3=txy.gps」
 パラメータtの値を動かして、陰関数 のグラフを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[t>0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(t=0)]をクリックしてから、[t<0 のとき]をクリックしてみよう。
 413.【 陰関数のグラフ4 】
 陰関数のグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「sinx+siny=sinnx+sinny.gps」
 パラメータnの値を動かして、陰関数 xinx+siny=sinnx+sinny のグラフを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(n=2)]をクリックしてから、[n≧3 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(n=2)]をクリックしてから、[n≦−2 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[n=1 のとき]、[n=0 のとき]、[n=−1 のとき]をクリックしてみよう。 
 414.【 陰関数のグラフ5 】
 陰関数のグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「x^2+y^2=x^4+y^4+a.gps」
 パラメータaの値を動かして、陰関数 のグラフを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=0.3)]をクリックしてから、[0.3≦a≦0.5 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=0.3)]をクリックしてから、[0.3≧a≧0 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[a≦0 のとき]をクリックしてみよう。
 415.【 陰関数のグラフの接線 】
 陰関数のグラフの接線の傾きを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「陰関数のグラフの接線.gps」
 
 
 
 y=sinxのグラフのx=0における接線の傾きを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「y=sinxのx=0の接線の傾き.gps」
 カーソルを原点に置いて、右クリック→zoom→×10
 y=sinxのグラフのx=0における接線の傾きは、1であることを見る。
 417.【 eの定義 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「eの定義1.gps」
 
 2.718 になることを見る。
 418.【 eの定義 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「eの定義2.gps」
 
 y切片にカーソルを置いて、右クリック→zoom→×10を繰り返す。
 y切片が 2.718・・・ になることを見る。
 419.【 指数関数のグラフと対数関数のグラフの位置関係 】
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名指数関数と対数関数のグラフの位置関係.gps
 パラメータaの値を動かして、が直線 y=x に関して、
対称であることを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(a=2)]をクリックしてから、[a>2 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[初期化(a=2)]をクリックしてから、[2>a>0 のとき]をクリックしてみよう。
 420.【 媒介変数表示のグラフ1 】
 媒介変数 x=2t、y=t+2 で表されるグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「媒介変数のグラフ1.gps」
 パラメータtの値を動かして、どんなグラフになるかを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=1)]をクリックしてから、[t>1 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[t<1 のとき]をクリックしてみよう。
 421.【 媒介変数表示のグラフ2 】
 媒介変数 x=cost、y=sint で表されるグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「媒介変数のグラフ2.gps」
 パラメータtの値を動かして、どんなグラフになるかを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0≦t≦2π のとき]をクリックしてみよう。
 422.【 媒介変数表示のグラフ3 】
 媒介変数 で表されるグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「媒介変数のグラフ3.gps」
 パラメータtの値を動かして、どんなグラフになるかを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=2)]をクリックしてから、[t>2 のとき]をクリックしてみよう。
 引き続いて、[2>t>−2 のとき]をクリックしてみよう。
 423.【 サイクロイド 】
 サイクロイド: 媒介変数 x=t−sint、y=1−cost で表されるグラフを調べる。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「サイクロイド.gps」
 パラメータtの値を動かして、どんなグラフになるかを観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0≦t≦6π のとき]をクリックしてみよう。
 424.【 サイクロイドの接線 】
 サイクロイド x=t−sint、y=1−cost の t=a における接線の方程式は、
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「サイクロイドの接線.gps」
 パラメータtの値を動かして、接線になっていることを見る。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0<t<2π のとき]をクリックしてみよう。
 425.【 サイクロイドの法線 】
 サイクロイド x=t−sint、y=1−cost の t=a における法線の方程式は、
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「サイクロイドの法線.gps」
 パラメータtの値を動かして、法線になっていることを見る。
 また、法線の残像によって作られる図形を観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0<t<10π のとき]をクリックしてみよう。
 426.【 区分求積法 】
 放物線 、x軸、直線x=1 によって囲まれた部分の面積を区分求積法によって求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「区分求積.gps」
<スクリプトについて>
 [左端区分求積の実行]及び[右端区分求積の実行]をクリックして、近似値を調べてみよう。
 nの値を大きくするに従って、[左端区分求積の実行]の近似値と、[右端区分求積の実行]の近似値の差が小さくなっていくことを見てみよう。
 427.【 曲線、直線で囲まれた部分の面積1 】
 
『GRAPES』を使って求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積1.gps」→[背景/ツール]→[定積分値を表示]→上限に1、下限に−1を入力
 
1.57079633 であることを確認する。(積分値 1.57079633 の表示を見る)
 428.【 曲線、直線で囲まれた部分の面積2 】
 曲線 とx軸によって囲まれた部分の面積を求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積2.gps」
 パラメータtの値を動かして、x=0のときt=0、x=4のときt=2になっていることを確認する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0≦t≦2 のとき]をクリックしてみよう。

 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積2−1.gps」→[背景/ツール]→[定積分値を表示]→上限に2、下限に0を入力
 
であることを確認する。(積分値 2.66666667 の表示を見る) 
 429.【 曲線、直線で囲まれた部分の面積3 】
 サイクロイド x=t−sint、y=1−cost とx軸によって囲まれた部分の面積を求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積3.gps」
 パラメータtの値を動かして、x=0のときt=0、x=2πのときt=6.28(2π)になっていることを確認する。
<スクリプトについて>
  [t=0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[t=2π のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[t=0 のとき]をクリックしてから、[0<t<2π のとき]をクリックしてみよう。

 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積3−1.gps」→[背景/ツール]→[定積分値を表示]→上限に2π、下限に0を入力
 
 と x軸によって囲まれた部分の面積の近似値が 9.42477796
であることを確認する。(積分値 9.42477796 の表示を見る)
 430.【 曲線、直線で囲まれた部分の面積4 】
 とx軸、y軸 によって囲まれた部分の面積を求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積4.gps」
 
なっていることを確認する。
<スクリプトについて>
 
 次に、[t=0 のとき]をクリックしてみよう。
 

 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「面積4−1.gps」→[背景/ツール]→[定積分値を表示]→

 と x軸によって囲まれた部分の面積の近似値が
0.29452431 であることを確認する。(積分値 0.29452431 の表示を見る)
 431.【 回転体の体積(円錐) 】
 直線をx軸の周りに回転してできる立体(円錐)の体積を求める方法を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「回転体の体積(円錐).gps」
 パラメータtの値を動かして、円錐は多くの円盤が積み重なってできていることを確認する。
 また、[回転体を描く]をクリックしても、円錐は多くの円盤が積み重なってできていることを確認できる。
 
用いて求める。
<スクリプトについて>
  [初期化]をクリックしてから、[回転体を描く]をクリックしてみよう。
 432.【 回転体の体積(球) 】
 円をx軸の周りに回転してできる立体(球)の体積を求める方法を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「回転体の体積(球).gps」
 パラメータtの値を動かして、球は多くの円盤が積み重なってできていることを確認する。
 また、[回転体を描く]をクリックしても、球は多くの円盤が積み重なってできていることを確認できる。
 円 (−a≦x≦a)をx軸の周りに回転してできる立体(球)の体積を定積分を用いて求める。
<スクリプトについて>
  [初期化]をクリックしてから、[回転体を描く]をクリックしてみよう。
 433.【 回転体の体積
 曲線 (0≦x≦2)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「回転体の体積(y=√x).gps」
 パラメータtの値を動かして、この立体は多くの円盤が積み重なってできていることを確認する。
 また、[回転体を描く]をクリックしても、多くの円盤が積み重なってできていることを確認できる。
 曲線 (0≦x≦2)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を定積分を用いて求める。
<スクリプトについて>
  [初期化]をクリックしてから、[回転体を描く]をクリックしてみよう。
 434.【 回転体の体積() 】
 曲線 (−2≦x≦2)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「回転体の体積(y=√(x^2+1)).gps」
 パラメータtの値を動かして、この立体は多くの円盤が積み重なってできていることを確認する。
 また、[回転体を描く]をクリックしても、多くの円盤が積み重なってできていることを確認できる。
 曲線 (−2≦x≦2)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を定積分を用いて求める。
<スクリプトについて>
  [初期化]をクリックしてから、[回転体を描く]をクリックしてみよう。
 435.【 曲線の長さ(サイクロイド) 】
 サイクロイド x=t−sint ,y=1−cost(0≦t≦2π)の長さを求める。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「曲線の長さ1.gps」
 パラメータbの値を動かして、0≦t≦bにおけるサイクロイドの長さの変化を見る。
 サイクロイド x=t−sint ,y=1−cost(0≦t≦2π)の長さを定積分を用いて求める。
<スクリプトについて>
  [b=0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[b=2π のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[b=0 のとき]をクリックしてから、[0≦b≦2π のとき]をクリックしてみよう。
 436.【 曲線の長さ
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「曲線の長さ2.gps」
 パラメータbの値を動かして、0≦t≦bにおける曲線の長さの変化を見る。
 
<スクリプトについて>
  [b=0 のとき]をクリックしてみよう。
 
 
 
 
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【400】微分・積分」→ファイル名「曲線の長さ3.gps」
 パラメータbの値を動かして、0≦t≦bにおける曲線の長さの変化を見る。
 
<スクリプトについて>
  [b=0 のとき]をクリックしてみよう。
 次に、[b=1 のとき]をクリックしてみよう。
 更に、[b=0 のとき]をクリックしてから、[0≦b≦1 のとき]をクリックしてみよう。



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 501.【 媒介変数で表された曲線 】
 媒介変数tで表された曲線 x=2cost+sint 、 y=cost+2sint を考える。
 『GRAPES』のデータパネルの[ファイル]→開く→フォルダ「『GRAPES』の使い方を考えるサンプルデータ」→フォルダ「【500】いろいろな曲線」→ファイル名「媒介変数で表された曲線.gps」
 x=2cost+sint 、 y=cost+2sint から t を消去した方程式 が、
媒介変数tで表された曲線 x=2cost+sint 、 y=cost+2sint と一致するかを見る。
 表示・非表示ボタンをクリックして観察する。
<スクリプトについて>
  [初期化(t=0)]をクリックしてから、[0<t<2π のとき]をクリックしてみよう。



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 601.【 問題01 】
 Oを原点とする座標平面上に、
 
円Cと直線Lは異なる2点P、Qで交わっている。
 (1) kのとりうる値の範囲を求めよ。
 (2) △OPQが直角三角形となるとき、kの値を求めよ。

[解答]
  (1) −4<k<16
  (2) k=6,12

<GRAPESの使い方>
 ファイルをクリックする
    ↓
 開くをクリックする
    ↓
 ファイル名「円と直線が交わる.gpsをダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 (1) において
 パラメータkを増加させ、−4<k<16 の範囲で、円と直線が異なる2点で交わっていることを確認する。
    ↓
 (2) において
 k=6 のとき、T(0,6)とU(−2,0)のTとUの部分をクリックして、点Pと点Qを表示し、△OPQが直角三角形であることを確認する。
    ↓
 T、Uの部分をクリックして、点Pと点Qを非表示にする。
    ↓
 次に、k=12 のとき、Q(−2,6)とS(a,3a+12)のQとSの部分をクリックして、点Pと点Qを表示し、△OPQが直角三角形であることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)

<備考>
 基本図形の各枠の左のアルファベットP、Q、R、・・・をクリックすると、基本図形を表示/非表示にすることができる。
 602.【 問題02 】
 座標平面上に2点A(3,4)、B(5,8) を直径の両端とする円C1がある。
  ただし、aは定数とする。
 (1) C1の方程式を求めよ。
 (2) C1とC2が異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ。

[解答]
 
 

<GRAPESの使い方>
 ファイルをクリックする
    ↓
 開くをクリックする
    ↓
 ファイル名「2つの円が交わる.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 (2) において
 パラメータaを増加させ、1.6<a<4 の範囲で、2つの円が異なる2点で交わっていることを確認する。
 
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 603.【 問題03 】
 
共通点をもつようなrの値の範囲を求めよ。

[解答]
 

<GRAPESの使い方>
 ファイルをクリックする
    ↓
 開くをクリックする
    ↓
 ファイル名「円と円の交点.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 (2) において
 パラメータkを変化させ、2.2≦k≦6.7 の範囲で、2つの円が共有点をもつことを確認する。
 (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)
 604.【 問題04 】
 

[解答]
  x+2y−3=0

<GRAPESの使い方>
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 開くをクリックする
    ↓
 ファイル名「2つの円の交点を通る直線.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
 k≠−1のとき、2つの円の交点を通る円になり、
 k=−1のとき、2つの円の交点を通る直線になることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)
 605.【 問題05 】
 2直線 2x+3y=7 ・・・ @ 、 4x+11y=19 ・・ ・A の交点を通り、点(5,4)を通る直線の方程式を求めよ。

[解答]
  x−y−1=0

<GRAPESの使い方>
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 ファイル名「2つの直線の交点を通る直線.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータkを変化させ、k(2x+3y−7)+4x+11y−19=0 は、kの値にかかわらず2つの直線の交点を通る直線になることを確認する。
 特に、k=−3のとき、点(5,4)を通ることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)
 606.【 問題06 】
 
aの値を求めよ。

[解答]
 

<GRAPESの使い方>
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 ファイル名「円と放物線の交点.gps」をダブルクリックする
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 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータaを変化させ、共有点の個数の変化を確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 607.【 問題07 】
 
 (1) 互いに他の外部にあるときのaの値の範囲を求めよ。
 (2) 一方が他方の内部にあるときのaの値の範囲を求めよ。

[解答]
 (1) −2<a<−1
 (2) a>79

<GRAPESの使い方>
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 ファイル名「2つの円の位置関係.gps」をダブルクリックする
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 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータaを変化させ、互いに他の外部にある場合や一方が他方の内部にある場合等のaの値を確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 608.【 問題08 】
 
aを変化させると、放物線の頂点は1つの曲線を描く。この曲線の方程式を求めよ。

[解答]
 

<GRAPESの使い方>
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 ファイル名「放物線の頂点の軌跡.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 609.【 問題09 】
 

[解答]
 
 
 

<GRAPESの使い方>

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 ファイル名「直線と円の交点の個数.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータmを変化させ、m<−0.75 のとき共有点2個、m=−0.75のとき共有点1個、m>−0.75のとき共有点0個を確認する。
 (スクリプトを利用すると、mを自動的に変化させて観察することができる。)
 610.【 問題10 】
 tが実数の値をとって変わるとき、
 2直線 L:tx−y=t 、 M:x+ty=2t+1 の交点P(x,y)はどのような図形になるか。
 その方程式を求めて図示せよ。

[解答]
 
 ただし、点(1,2)を除く。

<GRAPESの使い方>

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    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
上を動くことを確認する。
 (スクリプトを利用すると、tを自動的に変化させて観察することができる。)
 611.【 問題11 】
 tが実数の値をとって変わるとき、
 2直線 L:x+t(y−3)=0 、 M:tx−(y+3)=0 について、
 (1) 直線Lはtの値に関わりなく、定点を通ることを示せ。
 (2) tが実数全体を動くとき、直線LとMとの交点はどんな図形を描くか。

[解答]
 
 ただし、点(0,3)を除く。

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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
動くことを確認する。
 (スクリプトを利用すると、tを自動的に変化させて観察することができる。)
 612.【 問題12 】
 
 mがこの条件を満たしながら変化するとき、mの取り得る値の範囲を求めよ。
 また、このとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

[解答]
 m<−2、m>2
 

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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
動くことを確認する。
 (スクリプトを利用すると、mを自動的に変化させて観察することができる。)
 613.【 問題13 】
 2直線:2x+5y−3=0 ・・・@、5x+ky−2=0 ・・・A が平行になるときと垂直になるときの
 定数kの値をそれぞれ求めよ。

[解答]
 
 垂直なとき k=−2

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    ↓
 パラメータkを変化させ、2直線が k=12.5 のとき平行になり、k=−2 のとき垂直になることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)
 614.【 問題14 】
 3点 A(a、−2)、B(3,2)、C(−1,4) が同じ直線上にあるとき、定数a の値を求めよ。

[解答]
 a=11

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    ↓
 パラメータaを変化させ、a=11 のとき、3点が同じ直線上にあることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 615.【 問題15 】
 3直線 2x+y+3=0、x−y+6=0、ax+y+24=0 が1点で交わるとき、定数a の値を求めよ。

[解答]
 a=9

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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータaを変化させ、a=9 のとき、3直線が1点で交わることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 616.【 問題16 】
 直線 y=−4x+5 上に中心があり、x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めよ。

[解答]
 
 
 

<GRAPESの使い方>

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 ファイル名「x軸とy軸の両方に接する円.gps」をダブルクリックする
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    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータaを変化させ、a=1 と a=1.66 のとき、円がx軸とy軸に接することを確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 617.【 問題17 】
 
そのときの接点の座標を求めよ。

[解答]
 
 

<GRAPESの使い方>

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 ファイル名「定点を通り円に接する直線.gps」をダブルクリックする
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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
円に接することを確認する。
 (スクリプトを利用すると、mを自動的に変化させて観察することができる。)
 618.【 問題18 】
 

[解答]
 
 0≦a≦1 のとき、最小値 −1(x=1)
 1<a のとき、最小値 (x=a)

<GRAPESの使い方>

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 ファイル名「2次関数の最小値.gps」をダブルクリックする
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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータaを変化させ、a<0 のときx=a+1で最小値をとり、0≦a≦1 のときx=1で最小値をとり、 1<a のときx=aで最小値をとることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 619.【 問題19 】
 
定数aの値の範囲を求めよ。

[解答]
 −1<a<1

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    ↓
 パラメータaを変化させ、−1<a<1 のとき、x≧0 の全てのxについて、

 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 620.【 問題20 】
 

[解答]
 a>4 のとき、2個
 a=4 のとき、3個
 0<a<4 のとき、4個
 a=0 のとき、2個
 a<0 のとき、0個

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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
a>4 のとき2個、a=4のとき3個、0<a<4のとき4個、a=0のとき2個、a<0のとき0個であることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 621.【 問題21 】 東北大学
 不等式 2y>x+1+3|x−1| が表す座標平面上の領域をDとする。
 
 このとき、C上の点が全てDの点となるようなaの範囲を求めよ。

[解答]
 

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    ↓
 
 (スクリプトを利用すると、aを自動的に変化させて観察することができる。)
 622.【 問題22 】 関西学院大学
 r>0 とする。
 
 共有点の個数が最大になるrの値の範囲を求めよ。
 また、共有点の個数が奇数になるときのrの値を求めよ。
 
[解答]
 
 r=1

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    ↓
 
 r=1 のとき、共有点の個数が3個になることを確認する。
 (スクリプトを利用すると、rを自動的に変化させて観察することができる。)
 623.【 問題23 】 岐阜聖徳学園大学
 
 この放物線が、3点(0,0)、(0,−2)、(2,0) を頂点とする三角形と交わるような実数pの値の範囲を求めよ。

[解答]
 
 

<GRAPESの使い方>

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 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
放物線が三角形と交わっていることを確認する。
  (スクリプトを利用すると、pを自動的に変化させて観察することができる。)
 624.【 問題24 】 創価大学
 
直線 y=x と接するとき、その円の中心と半径を求めよ。

[解答]
 
 

<GRAPESの使い方>

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    ↓
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    ↓
 ファイル名「souka.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 パラメータkを変化させ、k=0.5 のとき、2つの円の2つの交点を通る円が、直線 y=x と接することを確認する。
  (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)
 625.【 問題25 】 福岡大学
 
     
は、kの値にかかわらず、定点Aを通る円を表す。このとき、定点Aの座標を求めよ。
 k>0であるとき、kの値を求めよ。

[解答]
 
 

<GRAPESの使い方>

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    ↓
 ファイル名「fukuoka.gps」をダブルクリックする
    ↓
 表示をクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 プレゼンテーションモードをクリックする(プレゼンテーションモードになっていないとき)
    ↓
 
 
  (スクリプトを利用すると、kを自動的に変化させて観察することができる。)


 上記のサンプルデータファイル「〜.gps」を以下でダウンロードできます。




 目次へ 

 下の『GRAPES』 の使い方を考えるサンプルデータ をダウンロードすると、
圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes.lzh」がダウンロードされる。
 ダウンロードされた圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes.lzh」を解凍すると、
フォルダ 「『GRAPES』 の使い方を考えるサンプルデータ」が作成される。

 下の『GRAPES』 を試験問題の解法に利用するサンプルデータ2 をダウンロードすると、
圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes2.lzh」がダウンロードされる。
 ダウンロードされた圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes2.lzh」を解凍すると、
フォルダ 「『GRAPES』 を試験問題の解法に利用するサンプルデータ2」が作成される。

 下の『GRAPES』 を試験問題の解法に利用するサンプルデータ3 をダウンロードすると、
圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes3.lzh」がダウンロードされる。
 ダウンロードされた圧縮(凍結)ファイル「sample_grapes3.lzh」を解凍すると、
フォルダ 「『GRAPES』 を試験問題の解法に利用するサンプルデータ3」が作成される。

 GRAPESサンプルデータ1  『GRAPES』 の使い方を考えるサンプルデータ
 GRAPESサンプルデータ2  『GRAPES』を試験問題の解法に利用するサンプルデータ2
 GRAPESサンプルデータ3  『GRAPES』を試験問題の解法に利用するサンプルデータ3
 関数グラフソフト『GRAPES』  数学関数グラフ作成ソフト『GRAPES』

 上の 数学関数グラフ作成ソフト『GRAPES』をクリックすると、GRAPES公式サイトが開く。
 このGRAPES公式サイトにおいて、関数グラフソフト『GRAPES』 をダウンロードすると、圧縮(凍結)ファイル「grps662.exe」がダウンロードされる。
 ダウンロードされた圧縮(凍結)ファイル「grps662.exe」をダブルクリックすると、自己解凍され、
フォルダ「GRAPES」が作成される。
その中のgrapes.exe をダブルクリックすると『GRAPES』が起動する。
 ただし、ダウンロードされる圧縮(凍結)ファイル「grps662.exe」の662はバージョンを表す。(2008/08/03現在)




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 フォルダ 「『GRAPES』 の使い方を考えるサンプルデータ」 の中には、5つのフォルダ「【100】2次関数・1次関数」、「【200】三角関数・指数関数・対数関数」、「【300】図形と方程式」、「【400】微分・積分」、「【500】いろいろな曲線」がある。各フォルダの中のファイル「〜.gps」を GRAPES で開く(読み込む)。

 フォルダ 「『GRAPES』 を試験問題の解法に利用するサンプルデータ」 の中には、20個のファイル「〜.gps」がある。これらを GRAPES で開く(読み込む)。


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【参考文献】
パソコンらくらく高校数学「微分・積分」 友田勝久/堀部和経 著  講談社
パソコンらくらく高校数学「図形と方程式」 友田勝久/堀部和経 著  講談社
関数グラフソフト「GRAPES」パーフェクトガイド 友田勝久 著  文英堂


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